Kerjaya awal

Beliau merupakan pemain akademi belia Torino dengan beraksi untuk setiap peringkat umur sehingga beliau menyertai pasukan Primavera.[2] Pada musim 2013–14, beliau membawa pasukannya melangkah ke perlawanan akhir Campionato Primavera sebelum mereka tewas kepada Chievo menerusi penentuan penalti.[3][4] Apabila masalah kecederaan telah melandap pemain-pemain skuad senior Torino pada musim itu, beliau kadang-kala telah dipanggil untuk menyertai skuad utama oleh jurulatih Giampiero Ventura.

Cittadella dan Cagliari

Pada musim pertama dalam kariernya, Barreca telah dipinjamkan ke kelab Serie B, Cittadella. Beliau melakukan penampilan pertamanya bersama kelab itu pada aksi pusingan ketiga Coppa Italia dengan kekalahan 4–1 kepada Sassuolo.[5] Barreca menjaringkan gol pertamanya di Serie B pada 15 November 2014 pada aksi menentang Carpi yang berakhir dengan kekalahan 5-2.[6]

Pada 17 Jun 2015, beliau telah dipinjamkan ke Cagliari bersama klausa pelepasan dan klausa pembelian balik oleh Torino.[7] Beliau melakukan penampilan sulungnya untuk Sardi semasa menentang Novara. Beliau seterusnya melakukan 15 penampilan bersama Cagliari yang dikendalikan oleh Massimo Rastelli menyaksikan pasukannya berjaya menjuarai Serie B sekali gus mendapat tempat ke Serie A buat musim depan. Pada 26 Jun 2016, kontrak Barreca telah diperbaharui oleh pihak kelab Torino.[8]

Torino

Beliau melakukan penampilan sulungnya untuk Torino pada 13 Ogos 2016 pada pusingan ketiga Coppa Italia menewaskan Pro Vercelli 4-1. Pada 18 September iaitu semasa beliau berusia 21 tahun, beliau melakukan penampilan pertamanya di Serie A dengan menjadi pemain gantian menggantikan Christian Molinaro pada separuh masa pertama permainan menentang Empoli. Pada Disember 2016, beliau telah dianugerahkan sebagai "Pemain Muda Terbaik" oleh USSI (Unione Stampa Sportiva Italiana).[9]

Monaco

Pada 10 Julai 2018, beliau telah dijual ke kelab Ligue 1, Monaco.[10]

Newcastle United

Pada 31 Januari 2019, Barreca telah menyertai kelab Liga Perdana Inggeris, Newcastle United secara pinjaman sehingga akhir musim 2018–19. Beliau melakukan penampilan tunggalnya bersama Newcastle pada aksi menentang Tottenham Hotspur sebagai pemain gantian yang berakhir dengan kekalahan 1-0 di gelanggang lawan.[11]

Genoa

Pada 11 Julai 2019, Barreca menyertai Genoa secara pinjaman bersama pilihan untuk membelinya secara tetap.[12]